La música y los dibujos infinitos

   Un fractal es una forma geométrica, espacial o plana, que se repite a sí misma en cualquier escala a la que se la observe, de manera infinita. Son auto semejante, ya que son iguales sin importar el grado de ampliación. El término fue creado en 1975, por Mandelbrot, un experto en matemática. El los dividió en  auto similitud exacta, si el fractal resulta idéntico a cualquier escala; cuasiautosimilitud, si al cambiar la escala, las copias del conjunto son similares pero no idénticas; auto similitud estadística, si el fractal tiene dimensiones estadísticas o de número que se conserven con la variación de la escala. 

   Los fractales se pueden aplicar tanto a la geometría, como a la naturaleza o al arte. Algunos ejemplos de fractales famosos son la curva de Koch o el triangulo de Sierpinski.

Triangulo de Sierpinski

En la naturaleza los podemos ver en las nubes o hasta en las hojas de los helechos. Otros ejemplos incluyen los tentáculos de pulpos, los caparazones de caracol y las bacterias, vista a través de un microscopio. Hoy en día los fractales pueden ser generados a través de computadoras, como por ejemplo, en la compresión de datos. Al utilizar el teorema del collage es posible encontrar un sistema de funciones iteradas (IFS), y codificar información para luego procesar imágenes. Además son utilizados en la cardiología, la geografía, la física, a la industria, a la naturaleza, al arte, a la biología y al campo militar. En especial, en este último, los fractales son necesarios para la detección de almacenamientos bajo el agua o en la trazabilidad del movimiento de submarinos, o en el análisis medioambiental para la determinación del origen y ruta seguida por nubes de lluvia ácida. 

   Uno de los temas que a mi más me llamo la atención fue la conexión entre la música y los fractales. Es increíble pensar como algo tan exacto puede entrar al mundo del arte, que es más descontracturado. De esta manera, en la música podemos destacar a Beethoven, o a de Bach.
   La "Primera Escossaien" muestra un total de 32 unidades o compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una: A (1 a 16), B (17 a 32), y a la vez se dividen en 2 períodos: A (1y2) y B (3y4), que se fraccionan en 2 partes: (a y a') compuestas por 4 unidades (1,2,3,4) agrupadas cada una de a 2 (1y2) que serán definidas y diferenciadas con letras y números. De esta manera, se presenta un balance simétrico de 2 partes. Cada sucesiva subdivisión de 32 unidades es una unidad binaria y una réplica más pequeña de la unidad más larga que la contiene, es decir, estructuras binarias auto similares.
   El caso de Bach es asombroso, ya que siguiendo con la frase "hay geometría en la vibración de las cuerdas, hay música en los espacios entre las esferas", disfrutaba de esconder acertijos para sus alumnos. El alemán compuso sus piezas musicales pensando en Fuga y Canon, que son elementos musicales que usan la repetición de melodías en diferente escala o velocidad con o sin contrapunto, pero que no son precisamente la misma melodía. Uno de estos casos fue el de "Cello Suite No. 3". La auto similitud de la suite se refleja en que los patrones de notas cortas y largas reaparecen como patrones de frases a una escala mayor. La obra refleja una notable semejanza al Cantor Comb, una visualización de un fractal del conjunto de Cantor. El motivo inicial consta de dos corcheas y una negra (sus duraciones serían 1,1,2). En la primera semifrase, este motivo se repite dos veces (AA) y varía en una tercera parte (B) que, nuevamente, dura el doble. A esta semifrase, le contesta otra de igual duración (s1, s1), y ambas concluyen con una especie de coda (s2) que dura exactamente el doble que las semifrases. El patrón se vuelve a repetir en la “macro estructura”, tal como lo hace un fractal. El "Cánon del cangrejo", según Douglas Hofstadter en su libro Gödel, Escher y Bach, es una especie de palíndromo musical, un espejo del tema musical en el tiempo. Hofstadter explica que estas estructuras también se hallan en el ADN; una estructura similar a un extraño bucle que se encuentra en los dibujos de escaleras reversibles de Escher, en las matemáticas de Gödel, en la música de Bach y en la naturaleza.
   La música fractal también llego a la tecnología, de la mano de Harlan J Brother, quienes mantuvieron una conversación con Mandelbrot quien los inspiro a investigar en profundo el tema de la música y los fractales. De esta manera, hoy en día tenemos acceso a programas de computadora que Harlan desarrollo, que hacen que la creación de este tipo de música sea muchísimo mas fácil. También escribió un articulo, haciendo referencia a Bach y su utilización de los fractales. Gracias a esto apareció en un documental dedicado al músico, que pueden observar abajo. Lamentablemente, solo esta disponible en ingles, pero vale la pena para cualquiera que pueda entender el idioma, ya que habla desde su profunda admiración por el compositor.

   Otro tema que capto mi atención fue la aplicación de este término en la neurología. Por ejemplo, los fractales permiten analizar electroencefalogramas (EEG) de pacientes epilépticos para determinar en qué punto está el foco epiléptico, para luego, operar en el lugar preciso. También se pueden utilizar para detectar enfermedades neurodegenerativas, mucho antes de que se puedan diagnosticar. Un estudio organizado por la Universidad de Liverpool, partió de siete grandes pintores de la historia. Todos ellos mostraban en sus obras gran contenido fractal. Mientras que Picasso, Chagall y Monet mantuvieran la dimensión fractal y sus habilidades cognitivas hasta sus respectivas muertes, sin haber sido diagnosticados con ningún tipo de enfermedad neurodegenerativa, las obras de Dalí, Morriseau, De Kooning y Brooks empiezan a disminuir en contenido fractal gracias al alzhéimer y párkinson. En el caso del párkinson de Dalí y Morisseau, se sospecha que debido a la inhabilidad de mantener el pincel firme, el resultado dejaba de ser pinceladas precisas y pasaban a ser formas geométricas, en vez de fractales.
   Buscando información sobre los fractales, encontré un articulo muy interesante, con conecta a ala matemática con la vida social. Les recomiendo que lo lean porque les aseguro que les cambia las perspectiva que tenían de la vida.